Sebuah bilangan asli n dikatakan wibu jika untuk setiap a pembagi positif n berlaku a + 1 membagi n + 1. Banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah ....
Misal n = ak, dengan a ≤ k, maka a + 1 | ak + 1 = ak + k − (k − 1) a + 1 | k − 1
Dengan cara yg sama, didapat k + 1 | a − 1
Yang memenuhi kedua persamaan hanyalah a = 1 sehingga n = k, maka n merupakan bilangan prima.
Banyak bilangan prima yang kurang dari 100 ada sebanyak 25 bilangan.
Jadi, banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah 25. JAWAB: A
No.
Diberikan bilangan 1 sampai 10 yang disusun melingkar secara acak. Diketahui N adalah suatu bilangan sedemikian hingga selalu dapat dipilih 3 angka bersebelahan pada lingkaran tersebut yang jumlahnya lebih dari atau sama dengan N. Nilai maksimum yang mungkin dari N adalah ....
Misalkan bilangan bulat {ai} untuk i = 1 hingga 10
Tanpa mengabaikan keumuman, misal a1 = 1
a2 + a3 + a4, a5 + a6 + a7, a8 + a9 + a10
Jumlah ketiga bilangannya,
2 + 3 + ⋯ + 10 = 54
Jadi berdasarkan pigeonhole principle, ada tiga bilangan yang paling sedikit jumlahnya,
$\left\lfloor\dfrac{54}3\right\rfloor=18$
Jadi, nilai maksimum yang mungkin dari N adalah 18. JAWAB: C
No.
Banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah ....
21 + 121 + 2111 = 225 = 152, merupakan bilangan kuadrat.
Jika n ≥ 2
Perhatikan bahwa m2 ≡ 0 atau 1 mod 3, atau m2 ≡ 0 atau 1 mod 4,
untuk m bilangan asli.
Jika n genap ≥ 2
2n + 12n + 211n ≡ (-1)n + 0 + 1n ≡ 2 mod 3, bukan bilangan kuadrat.
Jika n ganjil ≥ 3
2n + 12n + 211n ≡ 0 + 0 + (-1)n ≡ 3 mod 4, bukan bilangan kuadrat.
Jadi, banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah 1. JAWAB: D
No.
Diberikan bilangan real non negatif l, m, n, a, dan s yang memenuhi l + m + n + a + s = 28. Misalkan x = max{l + m + n, m + n + a, n + a + s}. Nilai terkecil yang mungkin dari x adalah ....
Jika nilai n bertambah k, maka m + a harus berkurang sebanyak k agar x tidak berubah nilai. Tetapi l + m + n atau n + a + s akan bertambah nilai, sehingga kita ambil n = 0. Dengan cara yang sama, kita ambil m = a = 0, sehingga l = s = 14
Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari x adalah 14. JAWAB: D
No.
Perhatikan gambar berikut
Diketahui AB = BC dan panjang jari-jari seperempat lingkaran adalah 1. Misalkan panjang jari-jari setengah lingkaran kecil dapat dinyatakan sebagai $a-b\sqrt{c}$ dengan a, b, dan c merupakan bilangan bulat positif dan c bilangan prima, maka nilai dari a + b + c adalah ....
Diberikan 7 titik yang terletak pada sisi sebuah lingkaran dan membentuk segi-7 beraturan. Dipilih 3 titik dari 7 titik tersebut dan peluang terbentuknya segitiga lancip dengan cara menghubungkan ketiga titik tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}q$ dengan p dan q merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima. Nilai dari p + q adalah ....
Diberikan polinomial P(x) berderajat n dengan n bilangan asli yang memenuhi n ≤ 2017. Diketahui P(k) = k untuk setiap bilangan bulat non negatif k yang kurang dari sama dengan 2017. Nilai dari P(2018) adalah ....