Berikut ini adalah soal dan pembahasan Penyisihan LMNas UGM untuk SMA ke-28. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

Sebuah bilangan asli n dikatakan wibu jika untuk setiap a pembagi positif n berlaku a + 1 membagi n + 1. Banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah ....
  1. 25
  2. 27
  3. 26
  1. 28
  2. 29
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal n = ak, dengan ak, maka
a + 1 | ak + 1 = ak + k − (k − 1)
a + 1 | k − 1

Dengan cara yg sama, didapat
k + 1 | a − 1

Yang memenuhi kedua persamaan hanyalah a = 1 sehingga n = k, maka n merupakan bilangan prima.
Banyak bilangan prima yang kurang dari 100 ada sebanyak 25 bilangan.
Jadi, banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah 25.
JAWAB: A

No.

Diberikan bilangan 1 sampai 10 yang disusun melingkar secara acak. Diketahui N adalah suatu bilangan sedemikian hingga selalu dapat dipilih 3 angka bersebelahan pada lingkaran tersebut yang jumlahnya lebih dari atau sama dengan N. Nilai maksimum yang mungkin dari N adalah ....
  1. 15
  2. 20
  3. 18
  1. 19
  2. 17
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misalkan bilangan bulat {ai} untuk i = 1 hingga 10
Tanpa mengabaikan keumuman, misal a1 = 1

a2 + a3 + a4, a5 + a6 + a7, a8 + a9 + a10
Jumlah ketiga bilangannya,
2 + 3 + ⋯ + 10 = 54
Jadi berdasarkan pigeonhole principle, ada tiga bilangan yang paling sedikit jumlahnya,
$\left\lfloor\dfrac{54}3\right\rfloor=18$
Jadi, nilai maksimum yang mungkin dari N adalah 18.
JAWAB: C

No.

Banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah ....
  1. Tak hingga
  2. 0
  3. 2
  1. 1
  2. 4
ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jika n = 1,

21 + 121 + 2111 = 225 = 152, merupakan bilangan kuadrat.

Jika n ≥ 2

Perhatikan bahwa m2 ≡ 0 atau 1 mod 3, atau
m2 ≡ 0 atau 1 mod 4,
untuk m bilangan asli.

Jika n genap ≥ 2

2n + 12n + 211n ≡ (-1)n + 0 + 1n ≡ 2 mod 3, bukan bilangan kuadrat.

Jika n ganjil ≥ 3

2n + 12n + 211n ≡ 0 + 0 + (-1)n ≡ 3 mod 4, bukan bilangan kuadrat.
Jadi, banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah 1.
JAWAB: D

No.

Diberikan bilangan real non negatif l, m, n, a, dan s yang memenuhi l + m + n + a + s = 28. Misalkan x = max{l + m + n, m + n + a, n + a + s}. Nilai terkecil yang mungkin dari x adalah ....
  1. 28
  2. 20
  3. 24
  1. 14
  2. 27
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Jika nilai n bertambah k, maka m + a harus berkurang sebanyak k agar x tidak berubah nilai. Tetapi l + m + n atau n + a + s akan bertambah nilai, sehingga kita ambil n = 0. Dengan cara yang sama, kita ambil m = a = 0, sehingga l = s = 14
Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari x adalah 14.
JAWAB: D

No.

Perhatikan gambar berikut
Diketahui AB = BC dan panjang jari-jari seperempat lingkaran adalah 1. Misalkan panjang jari-jari setengah lingkaran kecil dapat dinyatakan sebagai $a-b\sqrt{c}$ dengan a, b, dan c merupakan bilangan bulat positif dan c bilangan prima, maka nilai dari a + b + c adalah ....
  1. 8
  2. 9
  3. 10
  1. 7
  2. 3
ALTERNATIF PENYELESAIAN
$AB=\sqrt2$
$AD=CE=\sqrt2-1$

Misal EI = IF = IH = HC = r

\(\begin{aligned} CI&=\sqrt2-1-r\\ r\sqrt2&=\sqrt2-1-r\\ r&=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\\[4pt] &=3-2\sqrt2 \end{aligned}\)
3 + 2 + 2 = 7
Jadi, a + b + c = 7.
JAWAB: D

No.

Diberikan 7 titik yang terletak pada sisi sebuah lingkaran dan membentuk segi-7 beraturan. Dipilih 3 titik dari 7 titik tersebut dan peluang terbentuknya segitiga lancip dengan cara menghubungkan ketiga titik tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}q$ dengan p dan q merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima. Nilai dari p + q adalah ....
  1. 7
  2. 5
  3. 4
  1. 8
  2. 6
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Jadi,
JAWAB:

No.

Diberikan polinomial P(x) berderajat n dengan n bilangan asli yang memenuhi n ≤ 2017. Diketahui P(k) = k untuk setiap bilangan bulat non negatif k yang kurang dari sama dengan 2017. Nilai dari P(2018) adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
isi
Jadi,
JAWAB: