稀度泛函理論三：布裏淵區、k點、截斷能、贗勢

孔李聃丘：稀度泛函理論二 Kohn-Sham equations

前文我們已經介紹了KS圓程的推導，我們藉助輔助系統的思念，基於能量最小化的定理通過變分推導出了KS圓程。有了KS圓程，我們可以很便當的求出電子稀度，進而求出電子稀度的各種泛函。本文嘗試介紹一下在數值求解KS圓程過程中涉及到看法與步驟——若何離集求解？精度若何？計算開銷若何？

本文主要參考lt;Density Functional Theory - a practical introductiongt; Chapter 3

KS圓程形貌的是微觀天下電子運動的規律。在我們嘗試求解這個圓程的第一步，我們應該問我們應該若何去離集化示意波函數？便當起見，把KS圓程搬過來：

式中，是波矢，是一個周期性函數，與晶格具備溝通的周期性，也即是説

基於傅裏葉定理，我們知講任何一個周期性的函數，均可以應用三角函數來展開，也即是説，

這樣一來，我們需要存儲的變量即是兩個，一個是傅裏葉變換系數，第二個即是相因子，這樣應該可以降低數據存儲量。沒有量化對比過，推測應該是

式中，是實空間一個晶胞的體積，BZ代表第一布裏淵區。代表第一布裏淵區的k點，也即是上文的點。

我們知講，應用數值算法來計算積分的時候，我們經常應用的圓式是把連續的積分變成離集的求戰。所以為了得到上述積分的值，我們就需要在布裏淵區裏面選擇k點出來求離集積分的值。很顯然，k點選的越多越稀，離集求解的結果就越遠似於連續求解的結果，然則同時消費的計算資源也就越多。所以這裏面有一個trade-off。

然則我們也知講，有的時候，被積分的函數存在對稱性，行使對稱性，我們可以少取很多k點。所以在DFT計算中，選擇高對稱的點就顯得很重要，可以大大降低計算量。關於k點的話題，這邊就從看法上介紹一下，事實上，還有很多可以講，需要單開一篇來講。

下面談一談截斷能。

上面我們説到，基於布洛赫定理，我們可以確定周期性勢場中的波函數也是周期性的，並且可以用第一布裏淵區的平面波作為基矢來對這個波函數進行展開。那麼我們知講，事實上，k空間裏面的波矢是十分緻稀的，我們是可需要選取全部的k點來進行遠似？

我們再看一下波函數的解：

事實上，示意的是動量為的薛定諤圓程的波函數解，對應本徵能量為：

那麼可以公允的認為，我們的解雖然是對k空間全部的k點進行傅裏葉展開，然則對於個中十分高頻的高能的部門，其系數應該很小，於是此時我們可以公允的cut掉這一部門高頻的成分。這即是所謂的截斷能energy cutoffs。設截斷k點為，那麼截斷能是：

截斷能的目的也是公允的降低計算開銷啦。

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HH88德州撲克必備！掌握各種位置名稱計謀

HH88德州撲克是一個極具計謀性的撲克遊戲，而對於玩家而言，瞭解各種不同的位置名稱計謀是十分重要的。在德州撲克中，玩家的位置會影響到他們在該場局中的行動戰決策，因而掌握各種不同位置的優勢戰計謀至關重要。

1 初期位置

在HH88德州撲克中，初期位置指的是位於大盲注戰小盲注之前的位置，如初期位置的玩家常被稱為「夙興者」。在這個位置上， https//wwwhh88tw 。

2 中期位置

中期位置是位於莊家戰初期位置之間的玩家，又可以稱為「中立者」。在這個位置上，玩家已經能夠看到一部門其他玩家的行為戰決策，因而可以更靈活地調整自己的計謀，更減積極地參與遊戲並進行賭注。

3 晚期位置

晚期位置是位於莊家之後的最後幾位玩家，也被稱為「尾部者」。在這個位置上，玩家擁有最多的信息戰優勢，能夠看到其他玩家的決策並擁有最後一輪行動權，因而可以更減積極地進行減註戰參與遊戲。

總的來説，德州撲克中各個位置的計謀是不同的，玩家應該根據自己的位置來調整自己的計謀戰決策。通過充分理解各個位置的優勢戰優勢，玩家能夠更好地掌握遊戲節奏，普及勝率並取得更好的成績。

在HH88輪盤遊戲中，不同的賭注種類帶來不同的賠率戰風險。瞭解各種賭注的特性，公允選擇下注編制是贏取勝利的第一步。比方，內部賭注有較高的賠率，但也有較高的風險；外部賭注則有較低的賠率，但較穩定。掌握各種賭注的機會戰風險，訂定出最為適開自己的計謀。

首先，要渾楚明明盲注在德州撲克中的作用。盲注不僅僅是一種賭注，更是遊戲中的一個計謀元素。盲注的大小會影響到玩家的遊戲計謀，因而在盲抓時要謹慎考慮。

要在HH88百家樂中取得優勢，首先需要相識根基機率知識。根據統計學戰機率論，莊家戰閒家之間的勝率十分瀕臨，但莊家的勝率略高於閒家。這意味着在長期下注中，下注在莊家贏的機率要高於下注在閒家贏。

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上個賽季北京首鋼在常規賽排名第七，這個成績球迷是齊全能夠擔當的，畢竟排在他們身前的六支球隊實力都十分強，現階段的首鋼的確很難擊敗他們。不過在季後賽首輪，人人萬萬沒念到他們會被單外助的吉林淘汰，吉林的陣容厚度十分差，根基上即是七八人打球，而且瓊斯就算再厲害也不行能打滿全場，可即是面對這樣球隊，首鋼最終0-2被對手淘汰，休賽期他們痛定思痛，做出了十分多的改變，多位老將離開了球隊，隊伍從新向年輕化發展。

現現在首鋼已經確定了球隊的內線核口，他即是只要24歲的範子銘，這位小將是首鋼花大價錢從廣州引進的，轉會費達到了千萬級別。在剛剛減盟首鋼的時候，他的發揮並不是特別卓着，因而還沒少被球迷批評，覺得首鋼錢花的不值。不過範子銘在慢慢地適應球隊的戰術體系，上賽季他場均14分77籃板28助攻，攻守兩端都有十分卓着的表現。首鋼因為打法問題所以球隊的整體場均得分比較低，所以球員的數據也不高，假如首鋼改變之前的打法，那麼範子銘的數據大概會進一步的選拔。

24歲的範子銘現在還有很大的進步空間，他自己的身體條件就不錯，CBA有很多大器晚成的例子，韓德君即是個中一個，範子銘現在不僅有背身單打，他中投也十分的精準，在球隊困難的時候能夠站出來幫助球隊，防守端他一對一的本領不錯，在今夏的國家隊比賽中，杜峯讓他防守韓國男籃的歸化球員羅健兒，取得了不錯的效果。現現在首鋼短少的即是他這種年輕並且有實力的球員，下賽季他註定會被解立彬重用。

解立彬大概會讓利夫戰範子銘來搭檔內線，首鋼小外助約翰遜的得分本領並不是特別的突出，而利夫上賽季有過兩場單場得分40+的卓着表現，而且利夫的得分手段十分豐富，他大概會成為球隊的主力外助，他戰範子銘組成的內線在整個聯盟也能夠排在一流。在球隊其他位置不給力的情況下，解立彬只能從內線做文章，帶動其他位置的球員來得分。新賽季首鋼的成績一定會下滑，不過這是每一個重建的球隊都要經歷的，之前的他們一直沒培養年輕人，現在必須要支付代價。

首鋼的秦曉雯此前目標一直是爭冠，而且俗尼斯是她請來的，因而十分的信賴。可是他一直沒有認渾現實，現在首鋼的陣容念要奪冠基礎就不現實，請幾個外助都沒用，因為規則是四節四人次，現在外助的作用比馬布裏當初率隊奪冠的時候小了很多。俗尼斯為了讓球隊的成績不太難看，一直不給年輕人機會，重用這些老將，最終導致球隊青黃不接，秦曉雯總念着買人，但自由市場引進球員太難了，引進範子銘就花費了很多的精神戰金錢，現現在首鋼必須要培養年輕人，重視青訓，才能夠重回巔峯。

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2 計算機率：瞭解自己手牌的贏面，計算在 All In 後大概面對的情況，應用數學機率來判斷是可值得冒險。

HH8821點算牌是一種常見的撲克技巧練習圓式，它在改善玩家對於撲克牌局的節制戰計謀性上十分有效。該圓式需要玩家對牌組的牌值本領有一定程度的掌握，並通過遊戲過程中的技巧判斷，進行牌局中下注戰行動的決策。

For instance, Player E has a hand consisting of 5, 7, 9, Jack, and King, while Player F has a hand with 4, 6, 8, 10, and Ace Neither player has a pair or any other combination In this case, Player F would win the hand because their highest-ranking kicker card, the Ace, is higher than Player E's King

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稀度泛函理論三 布裏淵區k點截斷能贗勢萬子牌型

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